kumpulan ilmu pengetahuan: Januari 2011

SUKU BANYAK (POLINOM)

Materi-materi yang akan dibahas pada bab ini antara lain suku banyak dan operasinya, pembagian suku banyak, teorema sisa dan teorema factor.

Sebelum mempelajari lebih lanjut tentang suku banyak, coba kalian jawab soal-soal berikut:

1. Jika fungsi f(x) = 5x²+4x-8, tentukan nilai fungsi tersebut untuk x = 3.

Jawab:

f(3) = 5(3)² + 4(3) – 8

= 45 + 12 – 8

= 49

2. Jika diberikan perkalian x(x-3)(x-4), tentukan pangkat tertinggi x dari hasil perkalian tersebut.

Jawab:

(x³-3x)(x-4) = x³-4x²-3x²+12x

3. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x²-3x-40 = 0.

Jawab:

x³-3x-40 = 0

(x-8) (x+5)

x₁ = 8 x₂ = -5

Setelah kalian mampu menjawab menjawab soal-soal di atas mari lanjutkan ke materi berikutnya.

A. Pengertian Suku Banyak

1. Bentuk Umum Suku Banyak

Coba perhatikan perkalian suku-suku aljabar berikut:

(x-1)(x+2) = x²+x-2

x(x-1)(x+2) =x( x²+x-2) = x³+x²-2x

(x-1)(x+2) = x²(x²+x-2) = x⁴+x³-2x²

Bentuk-bentuk di atas termasuk suku banyak atau polinom suku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang memiliki bentuk umum sebagai berikut:

a_n x_ⁿ + a_n₋₁xⁿ⁻¹ +a_n₋₂ xⁿ⁻²+ … +a₂x^n-²+a₁x+a₀ dengan a₀, a₂, …, a_n₋₁, a_n

Pada bentuk umum suku banyak di atas, terdapat beberapa istilah yang perlu dipahami, antara lain sebagai berikut:

a. Pangkat tertinggi x, yaitu n disebut derajat dari suku banyak tersebut.

b. a_n disebut koefisien dari, xⁿ, a_n₋₁ disebut koefisien dari xⁿ⁻¹, … , dan a, disebut koefisien dari x.

c. Suku yang tidak memuat variabel x, yaitu a₀ disebut suku tetap.

Sebagai contoh, suku banyak 3x⁵+6x⁴-2x²-4x+7 adalah suku banyak berderajat 5. Koefisien dari x⁵ adalah 3, koefisien dari x⁴ adalah -2, koefisien dari x adalah -4 dan suku tetapnya adalah 7.

Variabel dari suku banyak tidak harus x boleh dengan huruf lain, misalnya y, z, dsb.

2. Operasi-operasi Suku Banyak

Suku banyak juga dapat dilakukan operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

a. Penjumlahan dan pengurangan

Dalam suku banyak suku-suku yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan adalah suku sejenis. Artinya variabelnya sama dan pangkat variabelnya juga sama. Misalnya, x dengan 2x, 4x³ dengan 2x³, y⁴ dengan 3y⁴, 2x⁵ dengan x⁵ dst.

Contoh:

1) Tentukan hasil penjumlahan atau hasil pengurangan suku banyak dari (5x³+3x²-6)-(x²-4x+2)

Jawab:

(5x³+3x²-6)-(x²-4x+2) = 5x³+(3x²-x²)+4x+(-6-2)

= 5x³+2x²+4x-8

b. Perkalian

Untuk mengalihkan dua suku banyak atau lebih kita dapat menggunakan sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan, kemudian baru kita hitung hasil jumlahnya.

Contoh:

Jabarkanlah (3x²+4x)(x³+5x-2)

Jawab:

(3x²+4x)(x³+5x-2) = 3x²(x³+5x-2)+4x(x³+5x-2)

= (3x⁵+15x³-6x²)+(4x⁴+20x²-8x)

= 3x⁵+4x⁴+15x³+14x-8x

3. Kesamaan Suku Banyak

Seperti yang telah kita ketahui, kesamaan sama artinya dengan identik dan dilambangkan dengan ” ≡ ‟

Misalnya, x²-25 ≡ (x-5)(x+5) dan x²

Secara umum, kesamaan dapat dinyatakan sebagai berikut:

Misalnya f(x) dan g(x) adalah dua buah suku banyak dengan

F(x) = a_nxⁿ +a_n-1x^n-1+ a_n-2x^n-2+. . .+a₀

G(x) = b_nxⁿ +b_n-1x^n-1+ b_n-2x^n-2+. . .+b₀

F(x) = g(x) jika dan hanya jika a_n= b_n ; a_n-1 = b_n-1; . . . a_{0 =}b₀

Untuk lebih jelasnya, mari perhatikan contoh berikut.

Contoh:

Ax^{2 +}( a + b ) x + (a + b +c ) identik 2x² + 8x + 9. Tentukan nilai a, b dan c.

Penyelesaian:

Karena kedua polinom itu identik maka ditulis:

Ax^{2 +}( a + b ) x + (a + b +c ) = 2x² + 8x + 9.

Dari kesamaan di atas, diperoleh kesamaan koefisien

Suku x²=> a = 2

Suku x => a + b = 8 atau b = 8 - 26

suku tetap => a + b + c = 9

c = 9 – 2 -6 = 1

Dengan demikian a = 2, b = 6 dan c = 1.

4. Menyatakan suku banyak sebagai rumus suatu fungsi

Suatu suku banyak dalam variasi x dapat dinyatakan sebagai fungsi f dengan variabel x. Misalnya, suku banyak yang telah disebutkan dalam bentuk umum suku banyak, dapat dinyatakan sebagai fungsi f(x) sebagai berikut:

F (x ) = a_nxⁿ +a_n-1x^n-1+. . .+a₂x²+a₁+a₀. Karena berupa fungsi, suku banyak dapat ditemukan nilainya. Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan cara substitusi maupun cara sintetik.

a. Cara substitusi

Denagn cara ini, nilai suatu suku banyak f(x) untuk x = k dapat diperoleh dengan menggantikan (menyubstitusikan) naik k bagi variabel x pada suku banyak f(x) oleh karena itu nlai suku banyak itu dapat rumuskan sebagia berikut:

Nilai suku banyak

F (x) = a_nxⁿ +a_n-1x^n-1+. . .+a₂x²+a₁x+a₀

Untuk x = k (k bilangan real)

F (k) = a_nkⁿ +a_n-1k^n-1+. . .+a₂k²+a₁k+a₀

Contoh :

Misalkan terdapat suku banyak f (x) = 3x³ + 2x² + 4x - 5 . Tentukan nilai suku banyak tersebut untuk x = 2 dan x = -1.

Penyelesaian:

Diketahui suku banyak f(x) = 3x³+ 2x² + 4x - 5 .

Untuk x = 2 diperoleh f (2) = 3(2)³ + 2(2)² + 4(2) – 5 = 35

Untuk x = -1 diperoleh f (-1) = 3(-1)³ + 2(-1)² + 4(-1) – 5 = -10

b. Cara Sintetik chorner

Misalkan terdapat suku banyak f(x)= ax⁴ + bx³ + cx² + dx +e dengan menyubstitusikan nilai x = k, diperoleh:

F (k) = ak⁴ + bk³+ ck² + dk +e

=(ak³ + bk² + ck + d) k + e

= (( ak² + bk + c ) k + d ) k + e

= ((( ak + b ) k + c ) k + d ) k + e

Dari bentuk persamaan terakhir, nilai suku banyak f(x) untuk x =k dapat ditentukan secara bertahap sesuai langkah-langkah sebagai berikut:

1. Kalikan a dengan k, kemudian hasilnya ditambah b.

2. Kalikan hasil langkah ke-I dengan k, kemudian tambahkan hasilnya dengan c.

3. Kalikan hasil langkah ke- II dengan k, kemudian tambahkan hasilnya dengan d.

4. Kalikan hasil langkah ke-III dengan k, kemudian tambahkan hasilnya dengan e.

Hasil terakhir dari dari langkah-langkah tersebut adalah

F(x) = ak⁴ + bk³+ ck² + dk +e

Dalam menentukan nilai suku banyak, cara ini didasarkan pada penguraian bentuk aljabar secara sintetik. Oleh karena itu menentukan niali suku banyak dengan cara ini disebut cara sintetik. Cara seperti ini pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan dari Jerman yang bernama Horner, sehingga cara sintetik ini disebut juga cara Horner. Ada juga yang menyebut cara menentukan nilai suku banyak dengan cara ini disebut cara skema atau cara bagan karena urutan langkah-langkah tersebut dapat disajikan dalam suatu skema atau bagan sebagai berikut:

k a b c d e

ak ak² + b ak³+bk²+ck a k⁴+bk³+ck²+d

a ak+b ak² + b+c ak³+bk²+ck+d a k⁴+bk³+ck²+d+e

Dalam hal ini, k disebut faktor pengali terhadap koefisien-koefisien suku banyak.

Contoh:

Dengan menggunakan cara sintetik, tentukan nilai suku banyak berikut:

F(x) = x⁴ + 3x³ – 10x²+ 4 , untuk x = 2

Penyelesaian:

2 1 3 -10 0 4

2 10 0 0

1 5 0 0 4 = f(2)

Jadi nilai suku banyak f(x)= x⁴ + 3x³ – 10x²+ 4 , untuk x = 2 adalah 4

B. Pembagian Suku Banyak

Di dalam pembagian suku banyak, kita perlu mengingat kembali dalam pengertian pembagian pada bilangan.

Misalnya:

Terdapat pembagian 25:4 yang hasilnya adalah 6 dan sisanya 1.

Pembagian dapat ditulis:

25 = (4×6)+1

1. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa Pembagi

Seperti pembagian bilangan di atas, bilangan 25 disebut bilangan yang dibagi, 4 disebut bilangan pembagi, 6 disebut hasil bagi dan 1 disebut sisa pembagi. Hubungan komponen-komponen dalam pembagian secara umum dapat ditulis sebagai berikut:

Bilangan yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

Hubungan komponen-komponen pembagi dalam pembagian juga berlaku pada pembagian suku banyak yang dapat ditulis sebagai berikut:

Suku banyak yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa

Dalam pembagian bilangan ada istilah pembagian bersusun. Pembagian bersusun dapat digunakan untuk melakukan pembagian suatu suku banyak.

Contoh:

a. (2x³+3x²+4x+1 ) : ( x+1 )

Penyelesaian:

2x²+x+3

……..(1)

X+1 2x³+3x²+4x+1

2x³- 2x² ……..(2)

x²+4x+1 …….(3)

x²+x ……..(4)

3x+1 ……..(5)

3x+3 ……..(6)

-2 ……..(7)

Cara mengerjakan:

1. Bagilah 2×³ dengan ×, hasilnya 2×²

2. Kalikan 2×² dengan ×+1, hasilnya 2×³+2×²

3. Kurangkan 2×³+2×² dari 2×³+3×²+4×+1, hasilnya ×²+4×+1

4. Bagilah ×²dengan × hasilnya ×

5. Kalikan × dengan ×+1, kemudian kurangkan hasilnya dari ×²+4×+1, hasilnya 3×+1

6. Bagilah 3× dengan × hasilnya 3

7. Kalikan 3 dengan ×+1, kemudian kurangkan hasilnya dari 3×+1, hasilnya -2.

Jadi, kita peroleh hasil baginya adalah 2×²+×+3 dan sisa pembagiannya adalah -2.

Dapat ditulis dengan

2×³+3×²+4×+1 = (×+1)(2×²+×+3)-2

2. Pembagian Suku Banyak dengan Cara Horner

a. Pembagi Berbentuk Linear (×-k)

Misalnya suku banyak f(×) = ax³+b×²+c×+d, dibagi oleh (×-k) hasilnya H(×) dan sisanya S. Hubungan antara f(×), H(×) dan S.dapat dinyatakan dengan persamaan:

f(×) = (×-k) H(×) + S

Menentukan niali suku banyak dengan cara Horner, misalkan diberikan suku banyak f(×) = a×³+b×²+c×+d, nilai suku banyak untuk x = k dapat ditentukan sebagai berikut:

k a b c d e

ak ak² + b ak³+bk²+ck a k⁴+bk³+ck²+d

a ak+b ak² + b+c ak³+bk²+ck+d a k⁴+bk³+ck²+d+e

Dari bagan cara Horner, tampak bahwa a, ak + b, dan ak²+bk+c merupakan koefisien hasil bagi, sedangkan f(k) = ak³+bk²+ck+d merupakan sisa pembagian. Pembagian di atas dapat dilakukan dengan cara sintetik (Horner) yaitu:

Hasil bagi : H(×) = a×²+(ak+b)×ak²+bk+c

Sisa pembagi : S = ak³+bk²ck+d

Secara umum, pembagian suku banyak f(×) dibagi oleh (×+k) atau (×-k) atau dengan cara sintetik dapat dilakukan dengan kaidah:

1. Jika pembagi (×-k), faktor pengali terhadap koefisien-koefisien suku banyak adalah k.

2. Jika pembaginya (×+k), faktor pengali terhadap koefisien-koefisien suku banyak adalah –k.

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut:

(×³-11×+10)=(×-5)g

Penyelesaian:

(×³-11×+10)=(×-5)

5 1 0 -11 10

5 2 70

1 5 14 80=sisa

Jadi, hasil pembagi itu adalah ×²+5×+14 dan sisa pembagian 80

b. Pembagi Berbentuk Linear (a×+b)

Untuk pembagian suku banyak oleh bentuk linear (a×+b), terlebih dahulu ubahlah pembagi (ax+b) menjadi a ( x+

)

Dengan cara sintetik horner, jika suatu suku banyak f(×) dibagi oleh ( x+

) Sisanya f (

) dan hasil baginya adalah f(×) dan hasil baginya adalah f(×) . Hal ini dapat ditulis sebagai berikut:

F(x)=( x+a/b )H(x) + F (

)

= 1/a ( ax + b)H(X ) + F (

)

= (ax +b)H(x)/a + F(

)

Persamaan di atas menunjukan bahwa apabila suku banyak f(×) d(aibagi oleh (a×+b), hasil baginya adalah H(x) / a dan sisanya adalah F (

)

Dengan demikian, jika pembagian suku banyak f(×) oleh (a×+b) dilakukan dengan cara sintetik (Horner) dapat digunakan kaidah berikut:

1) Jika pembaginya (a×+b), faktor pengali terhadap koefisien-koefisien suku banyak adalah

2) Jika pembaginya (a×-b), faktor pengali terhadap koefisien-koefisien suku banyak adalah

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian berikut:

(2×³-×²-1):(2×+3)

Penyelesaian:

(2×³-×²-1):(2×+3)

Karena pembaginya 2×+3 = 2 (x + 3 / 2), faktor pengalinya adalah -3 / 2

-3/ 2 2 -1 0 -1

-3 6 -9

2 -4 6 -10=sisa

Jadi, sisa pembaginya itu adalah -10 dan hasil baginya 2×²-4x +6 =×² - 2x + 3

C. Pembagi Berbentuk kuadrat a×²+b×+c, untuk a 0

Dengan memperhatikan derajat hasil bagi dan sisa pada contoh-contoh pembagian suku banyak f(×) dengan (×+k) dan (a×+b), secara umum kita dapat menemukan sifat sebagai berikut:

Jika suku banyak berderajat n dibagi oleh pembagi berderajat m, berlaku sebagai berikut:

1) Derajat hasil bagi = derajat suku banyak – derajat bembagi

= n – m

2) Derajat sisa ≤ m – 1 (maksimum m – 1)

Misalkan suku banyak yang dibagi berderajat 4.

Jika pembagi berderajat 1, hasil bagi berderajat 3 dan sisanya berderajat 0 (suku tetap)

Jika pembagi berderajat 2, hasil bagi berderajat 2 dan sisanya berderajat ≤ 1 (berderajat p×+q, p, q bilangan real)

Jika pembagi berderajat 3, hasil bagi berderajat 1 dan sisanya berderajat ≤ 2 (berbentuk p×²+q×+r, p, q, r bilangan real)

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan ax²+bx+c, a ≠ 0 (untuk ax²+bx+c, a ≠ 0 yang dapat difaktorkan maupun yang tidak dapat difaktorkan), hasil bagi dan sisa pembaginya dapat ditentukan dengan cara pembagian bersusun.

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian pad pembagian suku banyak

f(x) = 2x³+x²+3x+6 oleh x²+x-1.

Penyelesaian:

x²+x-1 tidak dapat difaktorkan. Dengan pembagian bersusun, hasil bagi dan sisa pembagiannya dapat ditentukan:

x + 1

x²+x-1 2x³+ x²+ 3x+ 6

2x³+2x²- 2x

-x²+5x+6

-x²- x +1

6x+5

Karena derajat 6x+5 (berderajat 1) lebih rendah dari pada x²+x-1 (berderajat 2).

Jadi, hasil pembagiannya 2x-1 dan sisanya 6x+5.

1. Teorema Sisa

Suku banyak yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

Khusus untuk sisa pembagian suku banyak,terdapat suatu teorema yang dapat digunakan untuk menentukan sisa pembagian itu,yaitu suku banyak f (x) dibagi oleh bentuk linier (x-k) dan (ax+b) atau dibagi oleh bentuk kuadrat yang dapat difaktorkan menjadi (x-a) (x-b)

2. Pembagi Berbentuk Linear (x-k)

Jika suatu suku banyak f (x) dibagi oleh bentuk linier (x-k) hasil baginya H (x) dan sisanya S ( S berderajat 0 sebab pembagi berderajat 1), makanya hubungan antara komponen-komponen ini adalah sebagai berikut:

F (x) = (x-k) H (x) + S

Nilai Sisa S pada pembagian ini dapat ditentukan dengan teorema berikut :

Jika suku banyak f (x) dibagi oleh (x-k) mempunyai sisa S maka S = F (x)

Bukti :

Dari persamaan F (x)=(x-k) H (x) + S, untuk x=k, maka

F(x) = (k-k) H (x) + S

= 0 x H (x) + S

= S

Jadi Terbukti bahwa S = F (x)

contoh :

· Tentukan sisa pada pembagian suku banyak berikut :

(x⁶ – 4x⁴ + 2²- 27) : (x + 2)

jawab :

(x⁶ – 4x⁴ + 2²- 27) : (x+2)

sisa = F (2)

= (-2)⁶ – 4 (-2)⁴+2 (-2)-27

= 64-64+8-27

= -19

· Tentukanlah nilai k jika x³-(2k-1)x²+3x+(3h-2): (x+2) sisa -7

jawab:

Cara sintetik

2 1 -2k+1 3 3k-2

-2 4k+2 -8K-10

1 -2k-1 4k+5 -5k-12

Sisanya -5K-12 = -7↔ -5k =5 ↔ k=-1

K = -1

3. Pembagi Berbentuk linear (ax+b)

F (x) = ( ax+b) H(x) + S

Jika Suku banyak F (x) dibagi dengan (ax+b) sisanya S = F (-

)

Bukti :

Jika kita mensubstitusikan x = -

pada persamaan F (x) diatas kita peroleh :

F (-

) =

H(x) +S

= 0 x H (x) + S

= S

jadi terbukti bahwa F (-

) = S atau S = F (-

)

contoh :

Tentukan pembagiaan sisa suku banyak (3x⁴ + 2x³ – 8) dibagi oleh (2x + 4)

jawab :

Pada Pembagian tersebut terlihat bahwa 2x + 4 = 2 (x+2) sehingga faktorisasinya adalah-2

-2	3	2	0	0	-8
		-6	8	-16	32
	3	-4	8	-16	24	-

jadi sisanya adalah 24

4. Pembagi Berbentuk Kuadrat yang Dapat Di faktorkan Menjadi (x-a) (x-b)

Jika suku banyak f (x) dibagi oleh (x-a)(x-b) memberikan hasil bagi H (x) dan sisa S (x) maka diperoleh hubungan berikut :

F (x) = (x-a) (x-b) H (x) + S (x)

Sisa pada Pembagian tersebut dapat ditentukan dengan teorema berikut :

Jika suku banyak f (x) dibagi (x-a)(x-b) mempunyai Sisa S (x) maka

S (x) = px + q

Dengan F (a0 = pa + q dan F (b) = pb + q

Bukti :

karena pembagiannya adalah (x-a) (x-b) maka derajat pembagi adalah 2. Oleh karena itu, sisa pembagiannya adalah f (x), yaitu S (x) berderajat kurang dari atau sama dengan 1. berarti S (x) = px + q, dengan

f (a) = (a-a) (x-b) H (b) + S (a)

= S (a)

= pa + q

dan F (b) = (b-a) (b-b) H (b) + S (b)

= S (b)

= pb + q

Contoh :

v Tentukan sisanya jika 3x³ + 8x² – x -11 dibagi x² + 2x – 3

penyelesaian :

Misalkan Sisanya berbentuk px + q.

3x³ + 8x² – x -11 = (x² + 2x – 3) H (x) +(px+q)

3x³ + 8x² – x -11 = (x – 1) (x + 3)H (x) + (px+q)

Untuk x = 1

3 (1)³ + 8(1)² – 1 -11 = (1 – 1) (1 + 3) H (1) +(p + (1) + q)

⇔ 3 + 8 – 12 = p + q

⇔ -1 = p + q atau p + q = -1………………………………(1)

Untuk x = -3

3 (-3)³ + 8(-3)² + 3 -11 = (-3 – 1) (-3+ 3) H (-3) +(p + (-3) + q)

⇔ -81 + 72 – 8 = -3p + q

⇔ -17 = -3p + q atau 3p – q = 17 ………………………(2)

dari persamaan (1) dan (2), diperoleh

p + q = -1

3p – q = 17 +

4p = 16 ⇔ P = 4

Dengan menyubstitusikan nilai P = 4 ke persamaan (1), diperoleh 4 + q = -1 atau q = -5.

jadi, sisanya adalah 4x – 5

5. Bentuk Suku Banyak yang Habis dibagi

Apabila sisa dari suatu pembagian adalah nol, maka dikatakan bahwa suku banyak itu habis dibagi oleh pembagi tersebut. Misalkan suku banyak f (x) habis dibagi oleh (x- k). Berdasarkan teorema sisa, sisa pembagian itu adalah f (k). Oleh karena itu, untuk x = k maka f (x) = 0 dan berlaku hubungan f (x) = (x – k) H (x). Berdasarkan uraian tersebut , dapat disimpulkan sebagai berikut :

Suatu suku banyak f (x) habis dibagi oleh (x –k) jika dan hanya jika f (k) = 0

Contoh :

v Tunjukan bahwa 2x³ + 3x² + x + 6 habis dibagi oleh x + 2.

Penyelesaian :

Diketahui f (x) = 2x³ + 3x² + x + 6

Untuk x = -2 maka f (-2) = 2 (-2)³ + 3 (-2)² – 2 + 6

= - 16 + 12 = 4 = 0

karena f (-2) = 0 maka 2x³ + 3x² + x + 6 habis dibagi x + 2

v Tentukan nilai dari a dan b jika suku banyak x³ – ax ²+ 5x + b habis dibagi oleh x² – 2x – 3.

Penyelesaian :

karena suku banyak x³ – ax ²+ 5x + b habis dibagi oleh x² – 2x – 3 maka sisanya 0 sehingga berlaku

x³ – ax ²+ 5x + b = (x² – 2x – 3)H(x)

⇔ x³ – ax ²+ 5x + b = (x + 1) (x -3)H(x)

Untuk x = -1

(-1)³ –a(-1)² + 5(-1) + b = (-1 + 1)(-1-3)H(-1)

⇔ -1-a-5+b = 0 atau –a +b = 6 ……………………………………..(1)

Untuk x = 3

(3)³ –a(-3)² + 5(3) + b = (3 + 1)(3 -3)H(-3)

⇔ 27 – 9a + 15 + b = 0 atau -9a + b = -42…………………… (2)

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh a = 6 dan b = 12.

jadi, nilai a = 6 dan b = 12

6. Menentukan Sisa pembagian Oleh Pembagi (x – a) (x – b)

Kita telah pelajari bagaimana cara menetukan sisa pembagian suatu suku banyak oleh pembagi yang berbentuk (x – a) (x – b). sekarang kita akan menentukan sisa pembagian dengan menggunakan rumus.

Misalkan suku banyak f (x) dibagi oleh (x – a) (x – b). akibatnya, sisa pembagian berbentuk linier (px + q). mengapa demikian ? Jika hasil pembagian H(x) dan sisa pembagian S(x) = px + q, berlaku sebagai berikut :

F(x) = (x – a) (x – b)H(x) + px + q

Dengan menyubstitusikan x = a dan x = b ke persamaan tersebut, diperoleh sebagai berikut

· Untuk x = a

f(a) = (a – a)(a – b)H((a)+pa + q

⇔f(a) = pa + q

· Untuk x = b

f(b) = (ab– a)(b – b)H((b)+pb + q

⇔f(b) = pb+ q

jika f(a) dikurangkan dengan F(b), diperoleh

f(a) – f(b) = (pa + q) – (pb + q)

⇔f(a) – f(b) = p(a – b)

⇔p =

Dengan Menyubstitusikan nilai p ke f(a) = pa + q, diperoleh

f(a) =

a + q

q = f(a) -

Jadi, diperoleh S(x) sebagai berikut :

S(x) = px + q

⇔ S(x) =

x +

jika suku banyak f(x) dibagi oleh (x – a)(x – b), sisa pembagian S(x) dirumuskan dengan:

S(x) =

x +

contoh :

v Fungsi f(x) dibagi x – 1 sisanya 3, sdangkan jika dibagi x – 2 sisanya 4, Tentukan sisanya jika dibagi (x² -3x + 2).

penyelesaian :

f(x) dibagi x² -3x + 2 = (x – 1)(x – 2), berarti a = 1 dan b = 2

f(x) dibagi x – 2 sisanya 4, berarti f(2) = 4.

Oleh karena itu, sisanya adalah

S(x) =

x +

⇔ S(x) =

x +

⇔ S(x) = x + 2

Jadi, sisa pembagiannya adalah x + 2

D. Teorema Faktor

1. Pengertian Faktor

Apabila suatu suku banyak dibagi oleh suatu pembagi memberikan sisa 0, dapat dikatakan bahwa pembagi itu merupakan faktor dari suku banayk tersebut. Pertanyaan ini dinamakan teorema faktor yang dapat ditulis sebagai berikut :

Misalkan terdapat suatu suku banyak f (x). bentuk (x-k) merupakan faktor dari f (x) jika dan hanya jika f (x) = 0 ,

jika f (x) = a_nx^{n +}a_n-1 x^n-1+ …+a₁x+ a₀ dan (x-k) merupakabn salah satu faktor dari f (x) maka nilai k yang mungkin adalah faktor- faktor bulat dari a₀ dibagi dengan faktor- faktor bulat dari a_n atau dirumuskan K =

2. Menentukan Faktor Linier Suku Banyak dengan Teorema Faktor

Telah dipelajari bahwa, misalkan suku banyak f (x) dibagi oleh (x-k) maka sisa pembagiannya adalah f (x). Disamping itu telah diketahiu pola bahwa suku banyak f (x) habis dibagi oleh (x-k0 jika dan hanya jika f (x) = 0 akibat dari ketentuan tersebut adalah sebagai berikut :

jika f (x) = o maka x= k memenuhi persamaan f (x) = 0 atau x = k adalah akar dari persamaan f (x) = 0 Dengan kata lain dapat ditulis sebagai berikut ;

jika (x – k) adalah faktor dari suku bnyak f (x) maka x=k adalah akar dari persamaan f(x)=0

Contoh :

Carilah nilai a agar pecahan

dapat disederhanakan

penyelesaian ;

Pecahan

Agar dapat disederhanakan,pembilang dan penyebut pecahan itu harus mempunyai faktor yang sama. Pada pecahan tersebut terlihat bahwa faktor dari pembilang adalah

). Hal ini berarti, penyebut harus dibagi

· x² + ax +6 habis dibagi (2x-1), berarti

+ a

+ 6 = 0

↔

+ 6 = 0

↔

↔ a = -11,5

· x + ax +6 habis dibagi (x + 3), berarti :

(-3)²+ a (-3) +6 = 0

↔ 9 – 3a +6 = 0

↔ 3a = 15

↔ a = 5

jadi, nilai a = - 11,5 atau a = 5

3. Penyelesaian Persamaan Berderajat Tinggi

jika persamaan berderajat tinggi

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1+ … +a₁x + a₀= 0

mempunyai akar,paling banyak terdapat n akar, n akar semuanya real, mungkin sebagian real dan sebagian tidak real

jika semua akarnya real,suku banyak tersebyt dapat difaktorkan menjadi

(x – x₁) (x-x₂)(x- x₃)… (x- x_n= 0 )

contoh :

jika (x – x₁) untuk I = 1,2,3…,n merupakan faktor dari F (x) maka F (x₁) = 0 dan x₁ merupakan akar persamaan F (x) = 0

Buktikan bahwa x³+ x₂-x + 2 =0 hanya mempunyai akar real

Penyeleseainnya :

Faktor- faktor bulat dari 2 adalah

2 sehingga nilai K yang mungkin adalah

1 dan

2 dengan cara pembagian sintetik diperoleh :

-2	1	1	-1	2
		-2	2	-2
	1	-1	1	0

jadi, x³+ x₂-x + 2 = (x+2) (x-x+ 1)

Perhatikan bentuk x²– x+1 = 0,Diskriminan dari x²– x+1 = 0 adalah D = b²- 4ac = (-1²)- 4 (1) (1) = -3

,karena diskrimiannya negative,maka akar- akar persamaan x²– x+1 = 0 tidak real.Jadi, persamaan x³+ x₂-x + 2 =0 hanya mempunyai satu akar real yaitu x = -2

E. Jumlah dan Hasil kali Akar- Akar Persamaan Suku Banyak (Pengayaan)

Tentu kita masih ingat dengan jumlah dan hasil kalin akar – akar persamaan kuadrat (persamaan suku banyak berderajat 2) ? Pada persamaan tersebut jumlah dan hasil kali akar- akarnya adalah sebagai berikut :

Untuk ax²+bx+c =0 , akar – akarnya adalah x₁ dan x₂,. Jumlah dan hasil kali akar – akarnya adalah

x_{1 +}x_{2 =}

dan x₁x₂ =

Persamaan suku banyak berderajat n mempunyai paling banyak n akar bilangan real . cara mengetahui jumlah dan hasil kali akar – akarnya, sama dengan cara menentukan jumlah dan hasil kali akar – akar pada persamaan suku banyak berderajat dua.

1.persamaan suku banyak berderajat tiga adalah ax³ + bx² + cx+d = 0

a) x₁ + x₂ + x₃ =

b) x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ =

c) x₁x₂ x₃=