kumpulan ilmu pengetahuan: Fungsi Trigonometri

FUNSI TRIGONOMETRI

Istilah trigonometri berasal dari kata yunani “trigonos” yang berarti segitiga dan “metron” yang berarti ukuran. Berdasarkan kata – kata pembentuknya, trigonometri diartikan sebagai ukuran segitiga. Trigonometri pada mulanya merupakan kajian tentang segitiga dan diterapkan sebagai tambahan ke-praktisan pada astronomi, survei dan navigasi. Namun, pada perkembangannya trigonometri tidak hanya dikaitkan dengan segitiga saja.

Seorang astronom yunani, Hipporchus (160 – 120 SM) berhasil membuat daftar trigonometri. Kemudian, disusul oleh george Bachim Rhaticus (1514 – 1576), seorang matematikawan Jerman, mempelajari trigonometri menggunakan segitiga siku –siku. Lain halnya dengan matematikawan Inggris, William Oughtred (1514 – 1660) yang berusaha untuk mengubah pandangan trigonometri dari pandangan secara geometri menjadi pandangan secara aljabar. Pandangan William Ougtred dikembangkan lagi oleh seorang matematikawan yang sangat terkenal, yaitu Leonar Euler (1707 – 1783), yang berasal dari Swiss, Euler mengembangkan fungsi – fungsi trigonometri dari nisbah panjang suatu garis menjadi suatu bilangan.

Sedangkan Hipporchus yang dikenal sebagai bapak Trigonometri, telah menulis 12 buku tentang perhitungan dari tali busur yang berkaitan dengan sudut pusat yang dipotong oleh tali busur itu. Sebagai fakta nyata ketika mereka berkecimpung dengan masalah – masalah pada ruang dimensi tiga, apa yang mereka bangun biasanya dirujuk sebagai trigonometri bola, ketimbang sebagai trigonometri bidang.

A. Ukuran Sudut

Sudut adalah ukuran jumlah rotasi antar dua potongan garis. Kedua potongan garis (sinar) ini dinamakan sisi awal dan sisi terminal.

http://www.faktailmiah.com/wp-content/uploads/2010/09/sudut-berimpit.png

Bila rotasinya bersifat berlawanan arah jarum jam, sudutnya positif. Jika searah jarum jam, sudutnya negatif.

Contoh

http://www.faktailmiah.com/wp-content/uploads/2010/09/sudut-c.gif

http://www.faktailmiah.com/wp-content/uploads/2010/09/sudut-ac.gif

Sudut sering diukur dalam derajat atau radian. Ada satuan ukur sudut lain yang disebut gradian. Sudut siku-siku dibagi menjadi 100 gradian. Gradian digunakan oleh surveyor, namun tidak umum dipakai dalam matematika. Kamu bisa menemukan tombolnya, grad, di kalkulator ilmiah.

Posisi standar sebuah sudut

http://www.faktailmiah.com/wp-content/uploads/2010/09/kosinus-300x164.gif

Sebuah sudut ada pada posisi standar jika sisi awal ada di sumbu x positif dan titik sudutnya ada di origin. Kedua contoh di atas diberikan dalam posisi standar.

Kita akan memakai r, panjang hipotenusa, dan panjang x dan y saat mendefinisikan rasio trigonometri dalam bagian selanjutnya.

ü Hubungan antara Derajat dengan Radian
satuan ukuran sudut ada dua macam, yaitu derajat (°) dan radian.
1 putaran penuh = 360°
1° = 1 derajat = (1 / 360°) x satu putaran penuh
Sudut pusat lingkaran ( 1 putaran penuh ) = (2 πr / r) radian = 2π radian
Jadi, 360° = 2 π rad
180° = π rad
90° = π/2 rad
60° = π/3 rad, dan seterusnya

ü Ukuran Sudut Dalam Derajat

B. Derajat, Menit dan Detik

Bangsa Babilonia (yang hidup di Irak pada tahun 5000 SM hingga 500 SM) menggunakan sistem bilangan berbasis 60. Dari mereka kita mendapat pembagian waktu, lintang dan bujur serta sudut dalam kelipatan 60.

Serupa dengan bagaimana jam, menit dan detik dibagi, derajat dibagi menjadi 60 menit (‘) dan satu menit dibagi menjadi 60 detik (“). Karenanya satu derajat sama dengan 3600 detik. Kita dapat menulisnya sebagai DMD atau ° ‘ “.

http://www.faktailmiah.com/wp-content/uploads/2010/09/sudut-lurus-300x207.gif

Latihan 1

Ubah 43°24’44″ menjadi bentuk derajat desimal.

43° tetap sebagai bagian bulatnya

24’ diubah menjadi 24/60 = 0.4

44” diubah menjadi 44/3600 = 0.012

Hasilnya : 43 + 0.4 + 0.012 = 43.412°

Latihan 2

Ubah 33.24° menjadi DMD

33° tetap

0.24 dari 1° = 0.24 x 60’ = 14.4’. Ini artinya 14 menit dan 0.4 menit tersisa. Masih ada bagian desimal, jadi kita perlu mencari 0.4 dari 1 menit

0.4 dari 1’ = 0.4 x 60” = 24”

Hasilnya : 33°14’24”

ü Ukuran Sudut Dalam Radian

Radian adalah satuan sudut dalam bidang yang dilambangkan dengan "rad". Satuan sudut ini pernah masuk dalam kategori satuan tambahan SI yang kemudian kategori ini tidak lagi sejak tahun 1955 dan saat ini radian dianggap sebagai satuan turunan dalam SI.

Definisi

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Radian_measure-def1.svg/220px-Radian_measure-def1.svg.png

Sudut 1 rad.

Satu radian atau 1 rad adalah besarnya sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari lingkaran berjari-jari 1 meter dan membentuk busur sepanjang juga 1 meter. Atau dalam gambar di samping r = b = 1 meter.

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung langsung dengan mengalikan besarnya sudut dengan jari-jari lingkaran, apabila besarnya sudut telah dalam satuan radian.

Ilustrasi ukuran sudut
Panjang busur $L\!$ (m)	Sudut $\theta\!$ (rad)
$R\!$	$1\!$
$\frac14\hbox{O}$	$\frac \pi 2$
$\frac12\hbox{O}$	$\pi\!$
$\frac34\hbox{O}$	$\frac {3\pi} 2$
$\hbox{O}\!$	$2 \pi\!$
$\theta R\!$	$\theta\!$

$\hbox{O}\!$ dibaca lingkaran.

C. Perbandingan Trigonometri Sudut – Sudut di Semua Kuadran

Dalam pasal 5-2-1 telah dibahas perbandingan- perbandingan trigonometri suatu sudut pada sebuah siku- siku. Ini berarti bahwa sudut- sudut yang terlibat di dalamnya merupakan sudut- sudut yang lancip (yaitu sudut- sudut yang besarnya kurang dari 90^o). Dalam pasal ini akan dipelajari perbandingan- perbandingan trigonometri untuk sudut- sudut yang terletak di semua kuadran, yaitu sudut- sudut yang besarnya antara 0^o sampai dengan 360^o. Sudut- susut ini dikelompokkan menjadi 4 wilayah atau kuadran didasarkan pada besarnya sudut, yaitu:

(1) Sudut- sudut yang terletak di kuadran I, yaitu sudut- sudut yang besarnya antara 0^o sampai 90^o atau

(2) Sudut- sudut yang terletak di kuadran II, yaitu sudut- sudut yang besarnya antara 90^o sampai 180^o atau

(3) Sudut- sudut yang terletak di kuadran III, yaitu sudut- sudut yang besarnya antara 180^o sampai 270^o atau

(4) Sudut- sudut yang terletak di kuadran IV, yaitu sudut- sudut yang besarnya antara 270^o sampai 360^o atau

Berdasarkan uraian di atas, maka definisi perbandingan trigonometri yang terdahulu (definisi 5-6) perlu didefinisikan kembali (redefinition) supaya dapat digunakan untuk menentukan perbandingan trigonometri sudut- sudut di semua kuadran. Dalam pendefinisian kembali ini, sudut pandang pembahasan diubah dari yang semula pembahasan geometri pada bidang datar (segitiga siku- siku) menjadi pembahasan geometri analitis pada bidang Cartesius (sistem koordinat Cartesius).

Untuk memahami bagaimana pendefinisian ulang (redefinition) perbandingan trigonometri berdasarkan sudut pandang geometri analitis, simaklah deskripsi berikut ini. Pada Gambar 5-28 ditampilkan sebuah sistem koordinat Cartesius. Ruas garis OA dapat diputar atau dirotasi terhadap titik asal O, sehingga besar ∠XOA dapat berubah dari 0o sampai dengan 360o. Untuk ∠XOA = α^o, maka ruas garis OA berada pada posisi tertentu. Dengan demikian, pada ruas garis OA dapat ditempatkan sebarang titik P dengan koordinat (x, y). Absis x, ordinat y, dan jarak r = OP memenuhi hubungan yang berlaku dalam Teorema Pythagoras, yaitu

Oleh karena r menyatakan jarak dari titik O ke titik P maka tanda dari r selalu positif (r>0).

Berdasarkan Gambar 5-28, perbandingan- perbandingan trigonometri dapat didefinisikan kembali dengan menggunakan variabel- variabel absis x, ordinat y, dan jarak r sebagai berikut.

ü Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut

Teorema Phytagoras

Lihat

dengan

atau

Lihat

dengan

atau

Lihat

dengan

atau

Definisi:

Contoh:

1. Diketahui

siku- siku di B dengan AB = 5 cm dan AC = 13 cm.

Hitunglah ∠BAC = α.

Jawab:

D. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut – Sudut Berelasi

1. Pada Kuadran I,

(f)

2. Pada Kuadran II, 9

3. Pada Kuadran III,

4. Pada Kuadran IV,

ü Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut

dan Sudut

Pada Gambar 5-42 di bawah ini, misalkan ∠POX = α^o. Sudut QOX =

, dengan n bilangan bulat, mengakibatkan Q berada pada kaki sudut yang nilainya sama dengan

. Dengan demikian, rumus- rumus perbandingan trigonometri untuk sudut

sama dengan rumus- rumus perbandingan trigonometri untuk sudut

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Sekarang perhatikan Gambar 5-42b, misalkan ∠POX = α^o. Sudut QOX =

, dengan n bilangan bulat, mengakibatkan Q berimpit dengan titik P. Dengan demikian, rumus- rumus perbandingan trigonometri untuk sudut

sama dengan rumus- rumus perbandingan trigonometri untuk sudut

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

E. Identitas Trigonometri

ü identitas Trigonometri Dasar

Identitas-identitas trigonometri dasar yang menghubungkan satu perbandingan trigonometri dengan trigonometri yang lain pernah dibahas dalam pasal 5-2-1. Identitas-identitas trigonometri dasar yang di maksud adalah:

1. Identitas trigonometri dasar (5-2), merupakan hubungan kebalikan :

atau

2. Identitas trigonometri dasar (5-3), merupakan hubungan perbandingan (kousien)

Identitas-identitas trigonometri dasar tersebut diperolah dari definisi perbandingan trigonometri.

3. identitas trigonometri dasar yang diperoleh dari hubungan phyitagoras

b. 1 +

c. 1 +

............... (5-19)

Identitas-identitas trigonometri dasar yang diperoleh dari hubungan phytagoras diatas dapat dibuktikan kebenarannya sbb. Pada gambar ini, titik P (x,y) terletak pada lingkaran satuan dengan sudut POX =

. Segitiga OPP’ merupan segitiga siku-siku di P’ sehingga berlaku hubungan phytagoras:

(OP’)² + (PP’)² = (OP)²

x² + y² = 1

karena x=cos

dan y = sin

, maka diperoleh

cos²

sin ²

jika, kedua ruas persaman x² + y² = 1 dibagi dengan x², maka diperoleh :

1 +

Substitusi

= tan

dan

= sec

ke persamaan di atas, maka diperoleh

1 + tan²

= sec²

Sekarang jika kedua ruas persamaan

= 1 dibagi dengan

, maka diperoleh

Substitusi

= cot

dan

= cosec

ke persamaan di atas, maka diperoleh

Substitusi

= cot

dan

= cosec

ke persamaaan di atas, maka diperoleh

Contoh :

Diketahui sin

dan 0

Hitunglah :

a) Cos

b) Tan

Jawab :

a) Dengan menggunakan rumus sin²

+ cos²

Maka cos²

sin²

cos

Karena 0⁰

(terletak di kuadran I) maka di ambil cos

b. Dengan menggunakan rumus perbandingan:

Tan

ü Identitas Trigonometri yang lain

Identitas – identitas trigonometri dasar yang telah dibahas dalam materi sebelumnya dapat pula digunakan untuk menyederhanakan bentuk – bentuk trigonometri sebagaimana diperlihatkan dalam beberapa contoh berikut:

Contoh 1

Sederhanakan bentuk trigonometri

Jawab:

Jadi, bentuk sederhana dari

Contoh 2

Sederhanakan bentuk trigonometri dari

Jawab:

Jadi, bentuk sederhana dari

Selain untuk menyederhanakan suatu bentuk trigonometri, identitas – identitas trigonometri dasar juga dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran identitas trigonometri yang lain. Untuk membuktikan kebenaran dari suatu identitas trigonometri dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

Cara 1.

Sederhanakan salah satu bentuk ruas (biasanya dipilih ruas yang memiliki bentuk rumit) sehingga diperoleh bentuk yang sama dengan ruas yang lain.

Cara 2.

Sederhanakan masing – masing ruas sehingga diperoleh hasil yang sama untuk masing – masing ruas tersebut.

Agar lebih memahami dan terampil dalam membuktikan kebenaran identitas trigonometri, simaklah beberapa contoh berikut ini.

Contoh 3

Buktikan bahwa

Jawab:

Kita ubah bentuk ruas kiri:

Ruas Kiri = Ruas Kanan

Jadi, terbukti bahwa

Contoh 4

Buktikan bahwa

Jawab:

Kita ubah bentuk ruas kanan:

Ruas Kanan = Ruas Kiri

Jadi, terbukti bahwa

Contoh 5

Buktikan bahwa

Jawab:

Kita ubah bentuk ruas kanan:

Ruas Kiri = Ruas Kanan

Jadi, terbukti

Contoh 6

Buktikan bahwa

Jawab:

Kita ubah bentuk ruas kiri:

Kita ubah bentuk ruas kanan

Ruas Kiri = Ruas Kanan

Jadi, terbukti bahwa

F. Persamaan Trigonometri

v Penyelesaian Persamaan Trigonometri Dasar

1. Penyelesaian persamaan sin x^o = sin α^o (x Î R)

Penyelesaian persamaan trigonometri sin x^o = sin α^o (x Î R) dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan-hubungan yang berlaku pada perbandingan trigonometri sudut berelasi berikut.

(1) Sin (180^o - α^o) = sin α^o

(2) Sin (α^o + k. 360^o) = sin α^o

Dengan memanfaatkan hubungan-hubungan di atas, maka penyelesaian persamaan trigonometri sin x^o = sin α^o dapat ditetapkan sebagai berikut.

Jika sin x^o = sin α^o (x Î R)

x = α + k. 360 atau x = (180 – α) + k.360^o, dengan k Î B

kalau sudut-sudut pada persamaan trigonometri dinyatakan dengan ukuran gradian maka rumus di atas dinyatakan sebagai berikut:

jika sin x = sin A (x Î R), maka

x = A + 2kp atau x = (p - A) + 2kp, dengan k Î B

Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persaman trigonometri berikut ini!

a) sin 2x^o = sin 50^o, jika x dalam interval 0 < x < 360

b) sin

x = sin

, jika x dalam interval 0 < x < 2p

Jawab:

a) sin 2x^o = sin 50^o, maka diperoleh:

2x = 50 + k.360 atau 2x = (180 – 50) + k.360

x = 25 + k.180 x = 65 + k.180

k = 0 à x = 25 k = 0 à x = 65

k = 1 à x = 205 k = 1 à x = 245

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan sin 2x^o = sin 50^o

HP = {25, 65, 205, 245}

b) sin

x = sin

, maka diperoleh

x =

+ 2kp atau

x = (p-

) + 2kp

x =

+ 4kp x = (

) + 4kp

k = 0 à x =

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan sin

x = sin

adalah HP = {

}

Penyelesaian persamaan cos x^o = cos α^o (x Î R)

Penyelesaian persamaan trigonometri cos x^o = cos α^o dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan-hubungan yang berlaku pada sudut-sudut berelasi sebagai berikut.

(1) cos (- α^o) = cos α^o

(2) cos (α^o + k. 360^o) = cos α^o

Dengan memanfaatkan hubungan-hubungan di atas, maka penyelesaian persamaan trigonometri cos x^o = cos α^o dapat ditetapkan sebagai berikut.

Jika cos x^o = cos α^o (x Î R), maka

x = α + k. 360 atau x = (180 – α) + k.360^o, dengan k Î B

kalau sudut-sudut pada persamaan trigonometri dinyatakan dengan ukuran gradian maka rumus di atas dinyatakan sebagai berikut:

jika cos x = cos A (x Î R), maka

x = A + 2kp atau x = (p - A) + 2kp, dengan k Î B

Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persaman trigonometri berikut ini!

a) cos 2x^o = cos 40^o, jika x dalam interval 0 < x < 360

b) sin 3x = cos0, jika x dalam interval 0 < x < 2p

Jawab:

a) cos 2x^o = cos 40^o, maka diperoleh:

2x = 40 + k.360 atau 2x = -40 + k.360

x = 20 + k.180 x = -20 + k.180

k = 0 à x = 20 k = 1 à x = 160

k = 1 à x = 200 k = 2 à x = 340

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x^o = cos 40^o dalam interval 0 < x < 360 adalah HP = {20, 160, 200, 340}

b) cos 3x = cos 0, maka diperoleh

3x = 0 + 2kp atau 3x = -0 + 2kp

x =

kp x =

k = 0 à x = 0

k = 1 à x =

k = 2 à x =

k = 3 à x = 2p

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan cos 3x^o = cos 0 adalah HP = {0,

, 2p}

Penyelesaian persamaan tan x^o = tan α^o (x Î R)

Penyelesaian persamaan trigonometri tan x^o = tan α^o dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan-hubungan yang berlaku pada sudut-sudut berelasi sebagai berikut.

(1) tan (180^o + α^o) = tan α^o

(2) tan (α^o + k. 360^o) = tan α^o

Dengan memanfaatkan hubungan-hubungan di atas, maka penyelesaian persamaan trigonometri tan x^o = tan α^o dapat ditetapkan sebagai berikut.

Jika tan x^o = tan α^o (x Î R), maka x = α + k. 180 k Î B

Kalau sudut-sudut pada persamaan trigonometri dinyatakan dengan ukuran gradian maka rumus di atas dinyatakan sebagai berikut:

jika tan x = tan A (x Î R), maka x = A + kp (k Î B)

Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persaman trigonometri berikut ini!

a) tan 2x^o = tan 20^o, jika x dalam interval 0 < x < 180

b) tan 2x = tan p, jika x dalam interval 0 < x < p

Jawab:

a) tan 2x^o = tan 20^o, maka diperoleh:

2x = 20 + k.180

x = 10 + k.90

k = 0 à x = 10

k = 1 à x = 100

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tan 2x^o = tan 20^o dalam interval 0 < x < 180 adalah HP = {10, 100}

b) tan 2x = tan p, maka diperoleh

2x = p + kp

x =

k = -1 à x = 0

k = 0 à x =

k = 1 à x = p

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tan 2x^o = tan p dalam interval interval 0 < x < p adalah HP = {0,

, p}

v Penyelesaian Persamaan trigonometri sin x° = a, cos x° = a, dan tan x° = a

Penyelesaian Persamaan trigonometri sin x° = a, cos x° = a, dan tan x° = a dapat ditentukan dengan cara mengubah bentuk-bentuk persamaan tersebut menjadi persamaan-persamaan trigonometri dasar. Kunci utamanya adalah bagaimana mengubah konstanta a (yang berada di ruas kanan) dalam bentuk perbandingan trigonometri suatu sudut α° sehingga sama dengan perbandingan trigonometri bagian ruas kiri.

ü Dengan demikian,
sin x° = a, diubah dulu menjadi sin x° = sin α°
cos x° = a, diubah dulu menjadi cos x° = cos α° , dan
tan x° = a, diubah dulu menjadi tan x° = tan α°
Setelah diperoleh persamaan trigonometri sin x° = sin α°, cos x° = cos α°, atau tan x° = tan α°, selanjutnya persamaan trigonometri tersebut diselesaikan menggunakan cara-cara sebagaimana yang telah dipelajari sebelumnya.

Simaklah beberapa contoh berikut ini.
Tentukan penyelesaian rumus dari tiap persamaan-persamaan trigonometri berikut ini !
a) sin x° = b) cos 3x° = c) tan 2x° =

sin x° = = sin 30°
x = 30 + K.360 atau x = (180-30) + K.360
<=> x = 30 + K.360 atau x = 150 + K.360
Jadi penyelesaian umum dari persamaan sin x° = adalah x = 30 + K.360 atau x = 150 + K.360
cos 3x° = = cos 60°
3x = 60 + K.360 atau 3x = -60 + K.360
<=> x = 20 + K.160 atau x = -20 + K.120

Jadi , penyelesaian umum dari persamaan

cos 3x° = adalah x = 20 + K.120 atau x = -20 + K.120
tan 2x° = = tan 60°
2x = 60 + K.180
<=> x = 30 + K.90
Jadi penyelesaian umum dari persamaan tan x° = adalah x = 30 + K.90.

G. Jumlah dan Selisih Sudut

a. Sin (α ± β )

Pada gambar 4.1 diatas, O adalah titik pusat lingkaran luar segitiga ABC,

Jika diketahui

dan AC = b serta jari-jari OA =

, α + β < π maka :

Pada ∆ADO siku-siku di D :

OA =

, AD =

dan

Sin γ =

Sin γ= c

Sehingga dengan cara yang sama, sin α = a, sin β = b

Pada ∆AEC : EA = b cos α, dan pada ∆BEC : EB = a cos β

EA + EB = c

C = b cos α + a cos β

α + β + γ = π → γ = π – (α + β )

Sehingga :

Sin (α + β ) = sin (π – (α + β )) = sin γ = c

Sin (α + β ) = b cos α + a cos β

= sin β cos α + sin α cos β

Jadi,

Sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

Ilistrasi :

Gunakan kalkulator untuk menyelidiki kebenaran pernyataan berikut :

1. Sin (20 + 10)⁰= sin 20⁰cos 10⁰+ cos 20⁰sin 10⁰

2. Sin (20 + 10)⁰≠ sin 20⁰+ cos 10⁰

Sedangkan untuk rumus sin ( α – β ),dapat dilakukan dengan mensubtitusikan bentuk α – β = α + (-β)

Sin (α – β) = sin [α + (-β)]

= sin α cos (-β) + cos α sin (-β)

= sin α cos β – cos α sin β

Jadi,

Sin (α - β ) = sin α cos β - cos α sin β

Rumus sin (α – β) dapat juga diperoleh dari gambar 4.2 berikut :

Luas ∆ABC – Luas ∆ABD = Luas ∆ADC

mn sin α cos β

- mn cos α sin β =

mn sin (α-β)

Jadi sin (α-β) = sin α cos β – cos α sin β.

Contoh :

Sederhanakan sin (270⁰– A)!

Jawab :

Sin (270⁰ – A) = sin 270⁰ cos A – cos 270⁰ sin A

= (-1) cos A – 0 . sin A = -cosA

Jadi, sin (270⁰ – A) = -cos A.

b. Cos (a+β )

ÐACB =

- a + β

- (a - β)

Luas DABC + DBDC

ab sin (

- (a - β) =

ab cos a cos β +

ab sin a sin β

Jadi, cos (a - β) = cos a cos β + sin a sin β

Untuk mendapatkan rumus cos (a + β), dapat dilakukan dengan mensitriibusikan a + β = a - (-β).

cos (a + β) = cos(a - (-β))

= cos a cos (-β) + sin a sin (-β)

= cos a cos β + sin a sin β

Jadi, cos (a + β) = cos a cos β + sin a sin β

Ingat cos (-β) = cos β dan

sin (-β) = cos β

Contoh :

Dengan menggunakan segitiga siku-siku di samping, ditunjukkan

cos (a - β) = cos a cos β + sin a sin β, jika a = 90^o dan β = 30^o!

Jawab

Ruas kiri

cos (a - β) = cos (90^o - 60^o) = cos 60^o = ½

Rumus kanan

cos a cos β + sin a sin β = cos 90^o cos 30^o+ sin 90^o sin 30^o

= (0 x ½

) + (1 x ½)

= ½ = ruas kiri

Jadi, berlaku bahwa cos (a - β) = cos a cos β + sin a sin β untuk a = 30^o dan β = 90^o

c. tan (x+β )

1. tan (x + β)

Rumus-rumus penjumlahan sinus dan kosinus yang telah kita peroleh sebelumnya, dapat kita gunakan untuk menemukan rumus penjumlahan tangen, seperti berikut ini.

Ingat tan x =

tan (x+β) =

Jadi, tan (x+β) =

Contoh soal

Hitunglah tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri

Jawab :

Gunakan rumus tan (x+β)

= tan (80^o + 55^o)

= tan 135^o

= tan (180^o-135^o)

= - tan 45^o

= -1

2. tan ( x- β)

Untuk rumus tan (x+β), bisa dengan menyubstitusikan bentuk x – β = x+(-β) maka diperoleh

Ingat tan (-β) = - tan β

tan (x-β) = tan (x + (-β))

Jadi tan (x-β) =

Contoh soal

Diketahui tan x = ½ dan tan β = ¹/₃, x dan β sudut lancip hitung tan (x+ β)

Jawab :

tan (x-β) =

= 1

H. Rumus – Rumus Sudut Rangkap

ü Untuk setiap sudut

berlaku rumus-rumus:

1. Sin 2

= 2 sin

cos

2. Cos 2

= cos²

- sin²

= 2 cos²

- 1

= 1 – 2 sin²

3. Tan 2

Bukti:

1. Sin 2

= sin (

)

= sin

= 2 sin

cos

2. Cos 2

= cos (

= cos

cos

- sin

sin

= cos²

– sin²

Dengan menggunakan rumus, cos²

= 1 – sin²

dan rumus sin²

= 1 – cos²

Maka akan di peroleh:

Cos²

- sin²

= cos²

- (1- cos²

)

= cos²

- 1 + cos²

= 2 cos²

- 1

Atau

Cos²

- sin²

= 1 – sin²

- sin²

= 1 – 2 sin²

3. Tan 2

= tan (

Penurunan rumus untuk sudut rangkap, dapat juga berdasarkan gambar 4.5 berikut:

Gambar 4.5

DCBD @ DABC

\sin 2q = 2 sin q cos q

\cos 2q = 2 cos² q - 1

Contoh:

1.Diketahui sin A =

, untuk A sudut tumpul.

Tentukan:

a. Sin 2A

b. Cos 2A

c. Tan 2A

Jawab:

Dengan menggunakan rumus cos² A= 1- sin²A, diperoleh nilai dari cos A sebagai berikut:

Cos² A = 1 –

= 1-

Cos A =

(karena A di kuadran II)

a. Sin 2A = 2 .

b. Cos 2A =

² -

² =

c. Tan 2A =

2. Buktikan identitas:

a. 2 cos

(cos

b’

Jawab:

a. Ruas kiri = 2 cos

= 2

(ruas kanan)

b. Ruas kiri =

(ruas kanan)

I. Perkalian Fungsi Trigonometri

Dalam mempelajari rumus-rumus perkalian sinus dan kosinus kita perlu mengingat kembali rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut yang telah kita pelajari sebelumnya, antara lain sebagai berikut:

1) sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

2) sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b

3) cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

4) cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

1. Rumus-rumus untuk 2 sin a cos b dan 2 cos a sin b

Rumus untuk 2 sin a cos b

Jika kita menjumlahkan rumus sin (a + b) dan sin (a - b), diperoleh

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b +

sin (a + b) + sin (a - b) = 2 sin a cos b

Jadi, kita memperoleh rumus untuk 2 sin a cos b, yaitu

2sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)

Perhatikan pembuktian rumus 2sin a cos b

2sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)

= (sin a cos b + cos a sin b) + (sin a cos b - cos a sin b)

= sin a cos b + cos a sin b + sin a cos b - cos a sin b

= 2 sin a cos b

= ruas kiri

Rumus untuk 2cos a sin b

Jika kita mengurangkan rumus sin (a + b) dan sin (a - b), diperoleh

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b -

sin (a + b) - sin (a - b) = 2 cos a sin b

Jadi, kita memperoleh rumus untuk 2 sin a cos b, yaitu

2sin a cos b = sin (a + b) - sin (a - b)

Perhatikan pembuktian rumus 2sin a cos b

2cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)

= (sin a cos b + cos a sin b) - (sin a cos b - cos a sin b)

= sin a cos b + cos a sin b - sin a cos b - cos a sin b

= 2 cos a sin b

= ruas kiri

Catatan:

Rumus-rumus tersebut juga berlaku untuk sudut-sudut dalam satuan derajat sehingga dapat dituliskan sebagai berikut

2sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)

2cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)

Contoh:

Nyatakan bentuk-bentuk dibawah ini sebagai jumlah atau selisih sinus

a. 2 sin a cos 3a

b. 2 cos 30^o cos 10^o

Penyelesaian :

a. 2 sin a cos 3a = sin (a + 3a) + sin( a – 3a)

= sin 4a + sin (– 2a)

= sin 4a - sin 2a)

b. 2 cos 30^o cos 10^o = sin (30^o + 10^o) – sin (30^o – 10^o)

= sin 40^o– sin 20^o

2. Rumus-rumus untuk 2cos a cos b dan 2sin a sin b

a. Rumus untuk 2cos a cos b

Jika kita menjumlahkan rumus cos (a + b) cos (a - b), diperoleh

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b +

cos (a + b) + cos (a - b)= 2 cos a cos b

Jadi kita memperoleh rumus untuk 2cos a cos b, yaitu

2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)

Perhatikan pembuktian rumus 2 cos a cos b

2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)

= (cos a cos b - sin a sin b) + (cos a cos b + sin a sin b)

= cos a cos b - sin a sin b + cos a cos b + sin a sin b

= 2cos a cos b

= ruas kiri

b. Rumus untuk 2sin a sin b

Jika kita mengurangkan rumus cos (a + b) cos (a - b), diperoleh

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b -

cos (a + b) - cos (a - b) = -2 sin a sin b

Jadi kita memperoleh rumus untuk 2sin a sin b, yaitu

-2 sin a sin b = cos (a + b) - cos (a - b)

Perhatikan pembuktian rumus 2 sin a sin b

-2 sin a sin b = cos (a + b) - cos (a - b)

= (cos a cos b - sin a sin b) - (cos a cos b + sin a sin b)

= cos a cos b - sin a sin b - cos a cos b + sin a sin b

= -2sin a sin b

Catatan :

Rumus-rumus tersebut dapat disajikan dalam bentuk lain, yaitu apabila masing-masing ruas dikalikan

dan -

berturut-turut untuk 2 cos a cos b dan untuk -2 sin a sin b sehingga diperoleh:

cos a cos b =

{cos (a + b) + cos (a - b)}

sin a sin b = -

{cos (a + b) - cos (a - b)

Contoh:

Nyatakan bentuk-bentuk perkalian di bawah ini sebagai jumlah atau seluruh kosinus

a. 2cos 35^o cos 15^O

b. 2sin 25^o sin 10^O

Penyelesaian:

a. 2cos 35^o cos 15^O = cos (35^o + 15^O) + cos (35^o - 15^O)

= cos 50^o + cos 20^O

b. 2sin 25^o sin 10^O= cos (25^o - 10^O) - cos (25^o + 10^O)

= cos 10^o - cos 35^O

J. Rumus Jumlah Dan Selisih

Sin α + sin β = 2 sin 1/2 ( α+ β) cos 1/2 ( α- β)
Sin α - sin β = 2 cos 1/2 ( α+ β) sin 1/2 ( α- β)
Cos α + cos β = 2 cos 1/2 ( α+ β) cos 1/2 ( α- β)
Cos α - cos β = -2 sin 1/2 ( α+ β) cos 1/2 ( α- β)

K. Aturan Sinus, Cosinus, dan Tangen

ü Aturan Sinus

Untuk menurunkan aturan sinus, perhatikan DABC lancip pada gambar. Garis-garis AP, BQ dan CR merupakan garis tinggi pada sisi a, sisi b, dan sisi c.

Pada DACR:

Sin A =

ó CR = b sin A

Pada DBCR:

Sin B =

ó CR = a sin B

Persamaan (1) = (2), diperoleh:

b sin A = a sin B

Pada DBAP

sin B =

ó AP = c sin B

Pada DCAP:

sin C =

ó AP = b sin C

Persamaan (4) = (5), diperoleh:

c sin B = b sin C

Persamaan (3) = (6), diperoleh:

Persamaan yang terakhir ini disebut aturan sinus atau dalil sinus.

Berlakukah aturan sinus itu pada segitiga tumpul? Untuk menjawab pertanyaan itu, perhatikan DABC tumpul pada Gambar 5-57. Garis AP adalah garis tinggi pada sisi a, garis BQ dan CR adalah garis tinggi pada perpanjangan sisi b dan c.

Pada DACR:

sin ÐARC =

ó CR = b sin (180° - A)

ó CR = b sin A .............(1)

Pada DBCR:

sin B =

ó CR = a sin B .......................(2)

Persamaan (1) = (2), diperoleh:

b sin A = a sin B

...................(3)

Pada DBAP:

sin B =

ó AP = c sin B ………………(4)

Pada DCAP:

sin C =

ó AP = b sin C ……………….(5)

Persamaan (4) = (5), diperoleh:

c sin B = b sin C

………………..(6)

Persamaan (3) = (6), diperoleh:

Persamaan ini merupakan aturan sinus yang diturunkan pada segitiga tumpul. Jadi,aturan sinus juga berlaku pada segitiga tumpul.

Berdasarkan bukti-bukti di atas, aturan sinus pada segitiga sebarang dapat dinyatakan sebagai berikut.

Dalam tiap segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi itu mempunyai nilai yang sama.

Ditulis :

……….(5-23)

Untuk memperlihatkan kemudahan yang diberikan oleh aturan sinus, simak kembaliperhitungan panjang sisi a dan c pada Contoh 65 dan Contoh 66.

Perhitungan pada Contoh 65:

ÐA = 50°, ÐB = 70°, b = 6, dan diperoleh ÐC = 60°.

Menghitung panjang sisi a:

ó a =

sin A

ó a =

sin 50^o

ó a =

ó a = 4.9 (teliti sampai 1 tempat desimal)

Jadi, panjang sisi a = 4,9.

Menghitung panjang sisi c:

ó c =

sin C

^üó c =

sin 60^o

ó c =

ó c = 5,6 (teliti sampai 1 tempat desimal)

Jadi, panjang sisi c = 5,6.

Perhitungan pada Contoh 66:

ÐA = 110°, ÐB = 40°, b = 10, diperoleh ÐC = 30°.

ü Menghitung panjang sisi a:

ó a =

sin A

ó a =

sin 110^o

ó a =

ó a = 14,9 (teliti sampai 1 tempat desimal)

Jadi, panjang sisi a = 14,6

Menghitung panjang sisi c:

ó c =

sin C

ó c =

sin 30^o

ó c =

ó c = 7,8 (teliti sampai 1 tempat desimal)

Jadi, panjang sisi c = 7,8.

Panjang sisi a dan c yang dihitung dengan aturan sinus ini memberikan hasil yang sama dengan perhitungan terdahulu.

C. Penggunaan Aturan Sinus

Secara umum, aturan sinus dipakai untuk menentukan unsur-unsur dalam suatu segitiga apabila unsur-unsur yang lain telah diketahui. Kemungkinan unsur yang diketahui itu adalah:

1) sisi, sudut, sudut disingkat dengan ss.sd.sd.

2) sudut, sisi, sudut disingkat dengan sd.ss.sd.

3) sisi, sisi, sudut disingkat dengan ss.ss.sd.

Contoh 67:

Diketahui DABC dengan ÐA = 38⁰ ÐB = 64°, dan panjang sisi b = 5

a) Hitunglah besar ÐC.

b) Hitunglah panjang sisi a dan sisi c.

jawab:

Unsur-unsur yang diketahui dalam DABC berturut-turut sisi, sudut, sudut (ss.sd.sd.), perhatikan Gambar 5-58.

a) Besar ÐC ditentukan dengan menggunakan hubungan:

ÐC = 180° - (ÐA + ÐB)

ó ÐC = 180^o - (38^o + 64°)

ó ÐC = 78°

Jadi, besar ÐC = 78°.

b) Panjang sisi a dan sisi c ditentukan dengan memakai aturan sinus:

Panjang sisi a:

ó a =

sin A

ó a =

sin 38^o

ó a =

ó a = 3,4 (teliti sampai 1 tempat desimal)

Jadi, panjang sisi a = 3,4.

Menghitung panjang sisi c:

ó c =

sin C

ó c =

sin 78^o

ó c =

ó c = 5,4 (teliti sampai 1 tempat desimal)

Jadi, panjang sisi c = 5,4.

Cara menghitung:

1) Dalam menghitung nilai a =

sin 38°, mula-mula dicari nilai sin 64° dan sin 38° dari tabel trigonometri. Kemudian nilai a dihitung dengan perkalian dan pembagian biasa.

2) Dengan menggunakan daftar logaritma.

a =

sin 38^o

ó log a = log [

sin 38^o]

ó log a = log 5 + log sin 38^o – log sin 64^o

ó log a = 0,6990 + (9,7893 – 10) – (9,9537 – 10)

ó log a = 0,5346

ó a = 3,425

a = 3,4 (pembulatan sampai 1 tempat desimal

3) Dengan menggunakan kalkulator.

Kalkulator yang dapat dipakai untuk perhitungan ini adalah kalkulator jenis ilmiah (scientific calculator), misalnya kalkulator Casio seri fx-3600.

Mula-mula mode ukuran sudut diatur pada posisi "DEG" (degree = derajat), kemudian ditekan tombol secara berurutan:

sin

Hasil yang ditampilkan pada layar kalkulator adalah 3.424930761, seperti pada gambar berikut.

Jika nilai itu dibulatkan sampai satu tempat desimal, diperoleh a = 3

Contoh 68

Diketahui DABC dengan besar ÐA = 50°, besar ÐB = 107°, dan panjang sisi c = 8.

a) Hitunglah besar ÐC.

b) Hitunglah panjang sisi a dan sisi b.

jawab:

Unsur-unsur yang diketahui dalam DABC berturut-turut sudut, sisi, sudut (sd.ss.sd.),perhatikan Gambar 5-59.

a) Besar sudut C:

ÐC = 180°-(ÐA + ÐB)

ó ÐC = 180° - (50° + 107°)

ó ÐC = 23°

Jadi, besar ÐC = 23°.

b) Panjang sisi a dan sisi b ditentukan dengan aturan sinus.

Panjang sisi a:

ó a =

sin A

ó a =

sin 50^o

ó a =

ó a = 15,7 (teliti sampai 1 tempat desimal)

Jadi, panjang sisi a = 15,7.

Menghitung panjang sisi b:

ó b =

sin B

ó b =

sin 107^o

ó b =

ó b = 19,6 (teliti sampai 1 tempat desimal)

Jadi, panjang sisi b = 19,6.

Catatan:

Perhitungan panjang sisi a dan b tersebut dapat pula dilakukan dengan menggunakandaftar logaritma atau kalkulator.

Contoh:

Diketahui DABC dengan panjang sisi b = 6, sisi c = 8, dan besar ÐC = 54^o. Hitunglah besarÐB.

jawab:

Unsur-unsur yang diketahui pada AABC sisi, sisi, sudut (ss.ss.sd.), perhatikan Gambar 5-60. Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh:

ó sin B =

ó sin B = 0,6068

ó ÐB = 37,4^o

atau

ÐB = (180 – 37,4)^o = 142,6^o

Mengingat bahwa jumlah sudut-sudut dalam segitiga sama dengan 180°, sedangkan ÐC = 54° maka ÐB tidak mungkin 142,6°. Jadi, besar ÐB = 37,4°.

Catatan:

Untuk menghitung sudut B dari hubungan sin B = didapat pula dilakukan dengan menggunakan daftar logaritma atau kalkulator.

Proses perhitungan dengan menggunakan kalkulator dapat dilakukan sebagai berikut. Pilihlah ukuran sudut dalam mode "DEG", kemudian tekan tombol-tombol berikut secara berurutan.

Menekan tombol dan INV dan sin secara berurutan bertujuan untuk menentukan nilai sin^-1atau arkes sinus dari suatu bilangan.

Hasil yang ditampilkan pada layar kalkulator adalah 37.3557947, seperti pada gambar berikut.

Jika hasil ini dibulatkan sampai satu tempat desimal, diperoleh ÐB = 37,4°.

ü Aturan Cosinus

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma \,$ atau
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos \beta \,$ atau
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha \,$

*Parameter*
1.	$a\!$	Panjang sisi a, terletak diseberang sudut A
2.	$b\!$	Panjang sisi b, terletak diseberang sudut B
3.	$c\!$	Panjang sisi c, terletak diseberang sudut C
4.	$\alpha\!$	Besar sudut yang terletak di sudut A
5.	$\beta\!$	Besar sudut yang terletak di sudut B
6.	$\gamma\!$	Besar sudut yang terletak di sudut C

ü Aturan Tangen

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}$

*Parameter*
1.	$a\!$	Panjang sisi a, terletak diseberang sudut A
2.	$b\!$	Panjang sisi b, terletak diseberang sudut B
3.	$c\!$	Panjang sisi c, terletak diseberang sudut C
4.	$\alpha\!$	Besar sudut yang terletak di sudut A
5.	$\beta\!$	Besar sudut yang terletak di sudut B
6.	$\gamma\!$	Besar sudut yang terletak di sudut C

L. Luas Segitiga

$L = {1 \over 2}at\!$

atau

$L = {at \over 2}\!$

*Parameter*
1.	$a\!$	Panjang alas segitiga
2.	$t\!$	Tinggi segitiga

$L = {1 \over 2} bc \sin\alpha\!$	atau	$L = {1 \over 2} bc \sin(\beta + \gamma)\!$	atau
$L = {1 \over 2} ac \sin\beta\!$	atau	$L = {1 \over 2} ac \sin(\alpha + \gamma)\!$	atau
$L = {1 \over 2} ab \sin\gamma\!$	atau	$L = {1 \over 2} ab \sin(\alpha + \beta)\!$

*Parameter*
1.	$a\!$	Panjang sisi a, terletak diseberang sudut A
2.	$b\!$	Panjang sisi b, terletak diseberang sudut B
3.	$c\!$	Panjang sisi c, terletak diseberang sudut C
4.	$\alpha\!$	Besar sudut yang terletak di sudut A
5.	$\beta\!$	Besar sudut yang terletak di sudut B
6.	$\gamma\!$	Besar sudut yang terletak di sudut C

S. Grafik Fungsi Trigonometri

1) Fungsi Periodik

Dalam kehidupan sehari –hari kita sering mengalami peristiwa-peristiwa seperti pergantian siang dan malam. Pergantian bulan, pergantian tahun, dan sebagainya. Peristiwa-peristiwa tersebut itu disebut sebagai peristiwa periodik.

Contoh peristiwa periodik dalam Fisika ialah gerakan yang dialami oleh sebuah titik pada sebuah roda yang sedang menggelinding. Sedangkan, salah satu contoh dalam Matematika dijumpai dalam fungsi trigonometri.

Gambar 4.6 menunjukan grafik fungsi ƒ dan g dimana = dan = . Pada gambar 4.6 (i), fungsi selalu bernilai sama untuk setiap satuan , jika x bergerak dari kiri kekanan. Dengan kata lain. Dalam satuan periode tertentu nilai akan berulang dan ditulis = .

Pada Gambar 4.6(ii), fungsi selalu bernilai sama untuk setiap mdua satuan, jika x bergerak dari kiri ke kanan. Dengan kata lain. = .

Fungsi-fungsi seperti fungsi ƒ dan g disebut fungsi periodik. Nilai 1 pada

Diatas disebut periode.

Definisi

Jika dalam suatu fungsi berlaku aturan = , x dan adalah domain dalam , maka dikatakan fungsi periodik. Nilai terkecil p sedemikian sehingga = untuk setiap nilai x disebut periode fungsi.

GAMBAR 4.6

Jika p merupakan peride suatu fungsi maka kp dimana k bilangan bulat juga periode fungsi . Periode positif terkecil dari periode-periode suatu fungsi disebut periode dasar.

Periode dasar fungsi trigonometri

Di kelas 1 SMU telah kita pelajari grafik fungsi trigonometri antara lain y = sin x, dan y = tan x. Grafik fungsi sinus (x) = y = sin x diperlihatkan dalam gambar 4.7

Grafik fungsi sinus y = sin x pada gambar 4.7,memperlihatkan bahwa nilai selalu berulang setiap interval 2 . Oleh karna itu dikatakan bahwa y = sin x adalah fungsi periodik dan periodenya adalah 2 . Dengan kata lain, (x) = .

Diketahui nilai terletak pada interval -1 ≤ (x) ≤ 1 sehingga _maks= 1 dan _min= -1.

Jika sin x = sin α maka x = α + k. 2𝞹 untuk setiap x 𝟄 R, untuk k = 0, 1, 2, 3, ...

Grafik fungsi kosinus g(x) = y = cos x diperlihatkan dalam Gambar 4.8

Pada gambar 4.8 nilai fungsi g selalu berulang setiap interval 2 , oleh karna itu dikatakan bahwa g(x) = cos x adalah fungsi periodik dan periodenya adalah 2 . Dengan kata lain, g(x) = g(x + 2 ).

Diketahui nilai g terletak pada interval -1 ≤ g(x) ≤ 1, sehingga g_maks = 1 dan g_min = -1.

Jika cos x = cos α, maka x = ± α + k. 2 untuk k = 0, 1, 2, 3, ...

Grafik fungsi tangen h(x) = y = tan x diperlihatkan dalam gambar 4.9

Pada Gambar 4.9 nilai fungsi h selalu berulang setiap interval 𝞹, oleh karena itu, dikatakan bahwa h(x) = tan x adalah fungsi periodik dan periodenya adalah 𝞹. Dengan kata lain, h(x) = h(x + 𝞹)

Jika tan x = tan α, maka x = α + k.𝞹 untuk k =0, 1, 2, 3, ...

Untuk h(x) adalah fungsi tangen, h(x)tidak mempunyai maksimum dan minimum.

v Grafik Fungsi Trigonometri Lanjutan

Amplitudo dan frekuensi sangat penting sebagai konsep dasar pengertian berbagai bidang, termasuk bunyi dan getaran.

Telah kita ketahui bahwa fungsi sinus dan kosinus diatas mempunyai nilai maksimum 1 dan minimum -1. Fungsi tersebut dikatakan mempunyai rentangan nilai 2. Amplitudo suatu fungsi periodik didefinisikan sebagai setengah dari selisih nilai mksimum (M) dan nilai minimum (m).

Jadi, amplitudo A =

(M – m)

Contoh:

i. Untuk y = cos x, M = 1 dan m = -1, maka amplitudonya A =

(1 – (-1)) = 1

ii. Untuk y = -2 cos x, M = 2 dan m = -2, maka amplitudonya A =

(2 – (-2)) = 2

iii. Untuk y =

cos x, M =

dan m = -

, maka amplitudonya A =

(

- (-

)) =

Gambar 4.10

Contoh 21

Berdasarkan gambar 4.7 tunjukan bahwa:

i. Y = sin x mempunyai periode 2π dan amplitudo 1,

ii. Y = sin 2x mempunyai periode π dan amplitudo 1.

Gambar 4.11

Jawab :

i. Karena grafik fungsi y = sin x selalu berulang untuk setiap interval 2π, maka y = sin x, M=1 dan m = -1, maka amplitudonya, A = (1 – (-1)) = 1.

ii. Karena grafik fungsi y = sin 2x selalu berulang untuk setiap interval π, maka y = sin 2x mempunyai periode π.

Untuk y = sin 2x, M = 1 dan m = -1, maka amplitudonya, A =

(1 – (-1)) = 1.

Dari kedua contoh di atas dapat disimpulkan bahwa:

Untuk y = a sin bx dan y = a cos bx.

Amplitudonya

dan periodenya

Gambar dibawah ini adalah grafik fungsi sinus dan kosinus dalam satu bidang koordinat. Jika grafik fungsi kosinus digeser ke kanan sejauh

satuan, akan berimpit dengan grafik fungsi sinus.

Bagai mana hubungan sin x = cos (x – bπ) dengan pergeseran grafik fungsi kosinus sejauh bπ satuan ke kanan ? untuk itu perhatikan beberapa contoh berikut

Gambar 4.1

Contoh 22

Gambar 4.13

Grafik fungsi y = sin (x -

) adalah hasil pergeseran dari grafik y = sin x sejauh

satuan ke kanan dengan periode 2π dan amplitudo 1.

Contoh 23 :

Grafik fungsi y = 3 cos x (x +

) berikut ini adalah hasil pergeseran dari grafik y = 3 cos x sejauh

satuan ke kiri dengan periode 2π dan amplitudonya 3.

Gambar 4.14

Transformasi fungsi trigonometri

Translasi:

I. (1) y = sin x

y = sin (x - a)

(2) y = sin x

y – b = sin x

y = b + sin x

(1) dan (2) y = sin x

y – b = sin (x – a)

y = b + sin (x – a)

II. (1) y = cos x

y = cos (x – a)

(2) y = cos x

y – b = cos x

y = b + cos x

(1) dan (2) y = cos x

y – b = cos (x – a)

y = b + cos (x – a)

v Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Sinus dan Kosinus

Perubahan Nilai fungsi trigonometri (sinus, kosinus, dan tangen) dapat diamati dengan menggunakan Lingkaran Satuan, yaitu lingkaran trigonometri yang berjari – jari satu satuan (Perhatikan Gambar 5 – 45).

Berdasarkan gambar 5 – 45, diperoleh:

Ditentukan oleh ordinat y.

Ditentukan oleh absis x.

Ditentukan oleh absis x dan ordinat y.

Jika titik P berputar (dimulai dari titik A) berlawanan arah jarum jam sepanjang lintasan lingkaran satuan, maka besar sudut

bertambah secara kontinu

sampai 360⁰. Dengan pertambahan besar sudut

, maka nilai – nilai fungsi trigonometri sin

, cos

dan tan

akan mengalami perubahan. Perubahan nilai – nilai fungsi trigonometri itu diperlihatkan pada tabel 5 – 3 berikut:

	Perubahan Sudut
	ke	ke	ke	ke
Sin	Bertambah dari 0 ke 1	Berkurang dari 1 ke 0	Berkurang dari 0 ke -1	Bertambah dari -1 ke 0
Cos	Berkurang dari 1 ke 0	Berkurang dari 0 ke -1	Bertambah dari -1 ke 0	Bertambah dari 0 ke 1
Tan	Bertambah dari 0 ke positif tak-berhingga	Bertambah dari negatif tak-hingga ke 0	Bertambah dari 0 ke positif tak-berhingga	Bertambah dari negatif tak-berhingga ke 0